位运算就是基于整数的二进制表示进行的运算。由于计算机内部就是以二进制来存储数据，位运算是相当快的。
常用的运算符共 6 种，分别为与（ & ）、或（ | ）、异或（ ^ ）、取反（ ~ ）、左移（ << ）和右移（ >> ）。
与、或、异或
与（ & ）或（ | ）和异或（ ^ ）这三者都是两数间的运算，因此在这里一起讲解。
它们都是将两个整数作为二进制数，对二进制表示中的每一位逐一运算。
| 运算符 | 解释 |
|---|---|
& |
只有两个对应位都为 1 时才为 1 |
| | | 只要两个对应位中有一个 1 时就为 1 |
^ |
只有两个对应位不同时才为 1 |
异或运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即a^b^b=a
举例：
$5=(101)_2 \\
6=(110)_2 \\
5\&6=(100)_2=4 \\
5|6=(111)_2=7 \\
5 \text{^}6=(011)_2=3$
取反
取反是对一个数num 进行的计算，即单目运算。
~把num的补码中的 0 和 1 全部取反（0 变为 1，1 变为 0）。有符号整数的符号位在 ~ 运算中同样会取反。
补码：在二进制表示下，正数和 0 的补码为其本身，负数的补码是将其对应正数按位取反后加一。
举例（有符号整数）：
$5=(00000101)_2\\\text{~}5=(11111010)_2=-6\\ -5的补码=(11111011)_2\\\text{~}(-5)=(00000100)_2=4$
左移和右移
num << i 表示将num 的二进制表示向左移动i位所得的值。
num >> i 表示将num 的二进制表示向右移动i位所得的值。
举例：
$11=(00001011)_2\\11<<3=(01011000)_2=88\\11>>2=(00000010)_2=2$
移位运算中如果出现如下情况，则其行为未定义：
- 右操作数（即移位数）为负值；
- 右操作数大于等于左操作数的位数；
例如，对于 int 类型的变量 a ， a<<-1 和 a<<32 都是未定义的。
对于左移操作，需要确保移位后的结果能被原数的类型容纳，否则行为也是未定义的。对一个负数执行左移操作也未定义。
对于右移操作，右侧多余的位将会被舍弃，而左侧较为复杂：对于无符号数，会在左侧补 0；而对于有符号数，则会用最高位的数（其实就是符号位，非负数为 0，负数为 1）补齐。
复合赋值位运算符
和 += , -= 等运算符类似，位运算也有复合赋值运算符： &= , |= , ^= , <<= , >>= 。（取反是单目运算，所以没有。）
关于优先级
位运算的优先级低于算术运算符（除了取反），而按位与、按位或及异或低于比较运算符，所以使用时需多加注意，在必要时添加括号。
位运算的应用
位运算一般有三种作用：
- 高效地进行某些运算，代替其它低效的方式。
- 表示集合。
- 题目本来就要求进行位运算。
需要注意的是，用位运算代替其它运算方式（即第一种应用）在很多时候并不能带来太大的优化，反而会使代码变得复杂，使用时需要斟酌。（但像“乘 2 的非负整数次幂”和“除以 2 的非负整数次幂”就最好使用位运算，因为此时使用位运算可以优化复杂度。）
乘 2 的非负整数次幂
int mulPowerOfTwo(int n, int m) { // 计算 n*(2^m)
return n << m;
}除以 2 的非负整数次幂
int divPowerOfTwo(int n, int m) { // 计算 n/(2^m)
return n >> m;
}Warning
我们平常写的除法是向 0 取整，而这里的右移是向下取整（注意这里的区别），即当数大于等于 0 时两种方法等价，当数小于 0 时会有区别，如：
-1 / 2的值为0 ，而-1 >> 1的值为-1 。
判断一个数是不是 2 的非负整数次幂
bool isPowerOfTwo(int n) { return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0; }对 2 的非负整数次幂取模
int modPowerOfTwo(int x, int mod) { return x & (mod - 1); }取绝对值
在某些机器上，效率比 n > 0 ? n : -n 高。
int Abs(int n) {
return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
/* n>>31 取得 n 的符号，若 n 为正数，n>>31 等于 0，若 n 为负数，n>>31 等于 -1
若 n 为正数 n^0=n, 数不变，若 n 为负数有 n^(-1)
需要计算 n 和 -1 的补码，然后进行异或运算，
结果 n 变号并且为 n 的绝对值减 1，再减去 -1 就是绝对值 */
}取两个数的最大/最小值
在某些机器上，效率比 a > b ? a : b 高。
// 如果 a>=b,(a-b)>>31 为 0，否则为 -1
int max(int a, int b) { return b & ((a - b) >> 31) | a & (~(a - b) >> 31); }
int min(int a, int b) { return a & ((a - b) >> 31) | b & (~(a - b) >> 31); }判断符号是否相同
bool isSameSign(int x, int y) { // 有 0 的情况例外
return (x ^ y) >= 0;
}交换两个数
该方法具有局限性
这种方式只能用来交换两个整数，使用范围有限。
对于一般情况下的交换操作，推荐直接调用
algorithm库中的std::swap函数。
void swap(int &a, int &b) { a ^= b ^= a ^= b; }获取一个数二进制的某一位
// 获取 a 的第 b 位，最低位编号为 0
int getBit(int a, int b) { return (a >> b) & 1; }将一个数二进制的某一位设置为 0
// 将 a 的第 b 位设置为 0 ，最低位编号为 0
int unsetBit(int a, int b) { return a & ~(1 << b); }将一个数二进制的某一位设置为 1
// 将 a 的第 b 位取反 ，最低位编号为 0
int flapBit(int a, int b) { return a ^ (1 << b); }表示集合
一个数的二进制表示可以看作是一个集合（0 表示不在集合中，1 表示在集合中）。比如集合 {1, 3, 4, 8} ，可以表示成(100011010)$_2$。而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作。
| 操作 | 集合表示 | 位运算语句 |
|---|---|---|
| 交集 | $ a \cap b$ | a & b |
| 并集 | $ a \cup b$ | a | b |
| 补集 | $ \bar{a} $ | ~a （全集为二进制都是 1） |
| 差集 | $ a \setminus b $ | a & (~b) |
| 对称差 | $ a \triangle b $ | a ^ b |
遍历某个集合的子集
// 遍历 u 的非空子集
for (int s = u; s; s = (s - 1) & u) {
// s 是 u 的一个非空子集
}用这种方法可以在 $ o(2^{popcount(u)}) $（ $popcount(u)$表示 $u$二进制中 1 的个数）的时间复杂度内遍历$u$ 的子集，进而可以在$O(3^n)$ 的时间复杂度内遍历大小为$n$ 的集合的每个子集的子集。（复杂度为$O(3^n)$是因为每个元素都有 不在大子集中/只在大子集中/同时在大小子集中 三种状态。）
内建函数
GCC 中还有一些用于位运算的内建函数：
int __builtin_ffs(int x)：返回$x$的二进制末尾最后一个$1$的位置，位置的编号从$1$开始（最低位编号为$1$）。当$x$为$0$时返回$0$ 。int __builtin_clz(unsigned int x)：返回$x$的二进制的前导$0$的个数。当$x$为$0$ 时，结果未定义。int __builtin_ctz(unsigned int x)：返回 $x$的二进制末尾连续 $0$的个数。当$x$为$0$时，结果未定义。int __builtin_clrsb(int x)：当$x$的符号位为$0$时返回$x$的二进制的前导$0$的个数减一，否则返回$x$的二进制的前导$1$的个数减一。int __builtin_popcount(unsigned int x)：返回$x$的二进制中$1$的个数。int __builtin_parity(unsigned int x)：判断$x$的二进制中$1$的个数的奇偶性。
这些函数都可以在函数名末尾添加 l 或 ll （如 __builtin_popcountll ）来使参数类型变为 ( unsigned ) long 或 ( unsigned ) long long （返回值仍然是 int 类型）。 例如，我们有时候希望求出一个数以二为底的对数，如果不考虑 0 的特殊情况，就相当于这个数二进制的位数 -1 ，而一个数 n 的二进制表示的位数可以使用 32-__builtin_clz(n) 表示，因此 31-__builtin_clz(n) 就可以求出 n 以二为底的对数。
由于这些函数是内建函数，经过了编译器的高度优化，运行速度十分快（有些甚至只需要一条指令）。
更多位数
如果需要操作的集合非常大，可以使用 bitset
